中外古代数学观之几点比较研究

发布时间:[2011-6-16]点击数:

    本文通过对大量数学史料的归纳总结,对中国古代数学思想观尤其是《九章算术》的思想观与外国古代数学思想观,特别是古希腊《几何原本》的思想观进行比较研究。通过比较,发现中外古代诸多著作中的数学在风格、体系、内容、方法、实用性、“几何代数化”和“代数几何化”以及保守性和符号等方面有很多不同。中国古代数学观重视代数和实际应用,而外国数学观重在逻辑推理论证。通过对这些问题的深刻研究,丰富了数学方法论的内容,并进一步论述了在中学数学教学中加强数学观教育的积极意义。

关键词:  数学观;数学;九章算术;几何原本

 

一、概述

在人类文明的发展史上,数学文明是最古老的文明之一。数学也和其他人类文明一样,最早出现在黄河流域的中国,尼罗河流域的古埃及,幼发拉底河、底格里斯河之间的古巴比伦,印度河流域的印度。我们伟大的祖国是世界上公认的四大文明古国之一,有悠久的历史和灿烂的文化。西汉时代的《九章算术》便是一部最古老的中国古代数学的经典著作,它的出现标志着我国古代数学体系的完整形成。公元前三世纪,欧几里得的《几何原本》是古希腊数学成就的精华,是一部划时代的数学巨著,是世界上最伟大的科学典籍之一,其伟大的历史意义在于它是用公理法建立演绎体系的最早典范。

二、中国古代数学观与外国数学观之几点比较

中国古代数学观与西方古代数学观相比具有许多独特之处,从形式到内容都各有特色和所长,风格不同,在体系、内容、方法等诸多方面也有差异,现比较如下:

1.风格

《墨经》有云:“圆,一中同长也”,与古希腊《几何原本》中所言“圆是由一条线包围着的平面图形,其内有一点与这条线上所有点连成的线段都相等,而且把这个点叫做圆心”。东、西方两种不同风格的定义,有异曲同工之妙。《周髀算经》之中“故折矩以为句广三、股修四、径偶五”的勾股定理与古希腊著名的毕达哥拉斯定理“在任一直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。”体现了特别和一般的关系,尽管毕达哥拉斯比我国勾股定理晚六百多年,但是可以有理由认为是数学中最重要的基本定理。因为它的推论和推广有着广泛的应用,我国并未给出通用公式,只是给出了一组组的数,毕达哥拉斯却给出了一个古代文明中最古老的定理之一。另外,古希腊人的万物皆数观念——认为数是世界的本原,由数可以推出整个世界来,中国古人的万物皆数观念是数学可应用到任何与人事活动相关的领域中去。

2.体系

《九章算术》属开放的归纳体系,以概括、精炼为特征,其几何理论完全建立在“出入相补原理”、“截割原理”、“不失本率”等几个极少而又十分简明的原理基础上,以勾股式代替一般三角形来处理直线形问题,还避开角与平行理论。它采取由具体问题的解决进而归纳出一般问题通用解法的不完全归纳法,内容随社会实践的需要不断更新和充实。《几何原本》属封闭的演绎体系,由一系列原名、公理、定义和定理及推导的逻辑规则所构成的封闭的数学理论体系,成为近代数学推理论证的典范。

3.内容

前者内容具体开放,后者内容体系抽象、封闭。《九章算术》是算法化思想蕴含于全书之中,它的核心内容是各种各样的“术”——算法,而“术”则使人们对类似问题可直接按一定的程序和步骤算出结果来。《几何原本》是抽象化的内容,它研究的对象是抽象的概念和命题,尤其是几何图形和数的若干性质。

4.方法

中国古代数学采用的是模型化方法,它广泛采用从实际问题出发,通过“术”转化成数学模型,再解决现实问题的“原型——模型——原型”的方法。如《九章算术》、《数书九章》中心问题是求解,把问题分门别类,找出相应的解题模式,都把问题分成9个大类,用一个固定的程式解决同类问题,实质上是一种机械化的基本思路和方法。外国数学对公理、命题及命题的证明在严格论述的基础上,命题形式与命题结构往往追求简单、明了,像《几何原本》采用以公理为出发点、演绎规则为手段的方法写成了数学史上的第一个公理体系。

5.实用性

中国古代数学的产生是由于生产过程中的实际需要,包括田亩测量、粮食交换、水利工程设计、赋税收缴等,像《九章算术》从产生到后来的历史修订一直都很重视社会生产发展对数学的需求,故《九章算术》是在“实用”数学思想指导下完善的。其成果往往以计算的形式表达,其思维方式是构造性和机械化的,这正好切合当今计算时代的要求。外国古代数学中所研究的几何图形和数的性质,不但抛开了实物的具体特性,更不顾及当时社会实践生活的需要,这是因为当时奴隶社会中,奴隶运用古代东方传来的数学解决问题,而奴隶主阶层中的古希腊数学家不涉及实践中需要的数学,因而有重视数学抽象理论,轻视具体应用的特点,像《几何原本》着重概念与推理,其成果一般以定理的形式表达,其思维方式往往偏重于存在唯一以及概念之间相互关系等非构造性的逻辑思维。

6.“几何代数化”与“代数几何化”

“几何代数化”是指用代数方法去解几何问题,中国古代数学关于体积之术处理方法是“以代数言之”,把几何问题化为代数问题的作法必然导致方程等概念的引入以及多项式运算与消去法的建立。像《九章算术》勾股章就是用二次方程来讲解勾股弦问题,用代数方法进行深入细致论述的。外国古代数学著作中,“代数几何化”的特点是十分明显的,如《几何原本》中第卷头个命题都是从几何上处理与之等价的代数问题。

7.保守性

中国古代数学受其它周边国家的影响很少,基本上是独立发展的,缺少交流。像徐光启和利玛窦合译的《几何原本》语言通俗,文字贴切,如“几何”一词的选用,其他如点、直线、平行线、角、三角形、四边形、有理数和无理数等都是这个译本首先定下来的,这些名词在我国一直沿用至今,而且影响到日本、朝鲜等邻国。而我国古代几乎没有受到其他邻国的影响。由于缺乏交流,导致在当时理解《几何原本》精神实质者很少。即便到了清代,李子金曾这样描述京城里那些号称博学多才的人对《几何原本》的态度:“无不望之而返走,否则掩卷而不谈;或谈之也茫然不得其解。”这或许就是中国古代数学没有得到进一步发展的原因吧!

8.符号

中国古代的数学符号也非常保守,即便是到了清代,在使用西方数学符号方面依然谨小慎微,严守“祖宗家法”,沿用中算符号或硬造符号,而不愿或不敢大胆引进西方通用的符号与形式,在普及西算方面设下了诸多障碍。像李善兰和伟烈亚力在译《代微积拾级》时,采用过一些西方符号,如乘×,除÷,等号﹦,根号,指数(位于右上角)等,但更用的是采用汉字代替西方算号。如:用甲乙丙丁戊己庚辛壬癸的十字天干取代“-”,续用子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥的字地支取代“-,最后的“”则代之以天地人物。微分符号“d”及积分符号“∫” ,竟用微积二字的偏旁“彳”、“禾”取代。加减号改为

天彳天地彳地=卯地彳天    (d+d=d)

今有式二天三地=四五,

三天三人=四二,求天地人之同数。

四地四人=五五,

即: 2x-3y+z=45,

3x-3z+y=42,    求x,y,z

4x-4z+x=55,

通过以上例题,不难看出西方算号简便,思想的保守性严重阻碍了我国数学的发展。

三、在中学数学教学中加强数学观教育的意义

通过中外古代数学观之几点比较研究,理解中外古代数学蕴涵的数学教育思想,对于外国人认识中国数学以及促进中外数学观的交流和借鉴都必将具有重要的推动作用。在中学数学教学中加强数学观教育也有着积极的意义,可以培养学生思维的逻辑性、严密性和表达方式的简洁性,思考问题就会周全、合理一些,从多个角度把握问题,有步骤有条理地处理事物;培养学生应用数学解决实际问题的意识和能力,使应用数学的意识和能力通过数学教育转化成其数学素质进而个人素质的一部分,从而有利于学生素质教育的良性发展。

 

                                                  (3066字)

参考文献

 

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[2]Thomas Heath.欧几里得几何原本13[M].西安:山西科技出版社,1990

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[4]李迪.中国数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社,1984

[5]张奠宙.数学史选讲[M].上海:科学技术出版社,1996

    [6]李文林.数学史通论[M].北京:高等教育出版社,2004

[7]王鸿钧.中国古代数学思想方法[M].南京:江苏教育出版社,1989

   [8]孙宏安.中国古代数学思维方式浅析[J].辽宁教育学院学报,1991